Исследование функции и построение графиков

Posted By on 06.05.2013

Исследование функции с помощью средств дифференциального анализа и построение графика функции производится по схеме.

1. Область определения

Необходимо посмотреть знаменатели, корни, логарифмы. Как известно, знаменатель не должен быть равен нулю, выражение под корнем больше или равно нуля, выражение под знаком логарифма строго больше нуля. Область опредления обозначается D(y)

2. Четность или нечетность функции

Если выполнется y(-x)=-y(x), то функция нечетная

при y(-x)=y(x), функция четная. Если не выполняется ни то и ни другое, функция общего плана, то есть она не четная и не нечетная.

На графике четная функция выглядит симметричной относительно оси ОХ, а нечетная – относительно начала координат. Это позволяет исследовать функцию только при х>0, а потом использовать результат для отрицательной части в соответствие с симметрией.

3. Периодичность

Если функция не содержит периодических составляющих (sin, cos, tg и т.д.), то она не является периодической. В противном случае было бы хорошо указать период.

4. Точки пересечения с осями координат

С осью ОХ: у=0,

с осью ОУ: х=0

5. Промежутки знакопостоянства

Следует решить неравенство у>0, записать промежутки, где функция положительна, а где отрицательна. На графике положительные участки графика распологаются выше оси х, отрицательные – ниже.

6. Монотонность

В этом пункте находим экстремумы функции и промежутки возрастания (убывания). Для этого следует найти производную заданной функции. Далее приравнять ее к нулю. Найти критические точки – это точки, где производная не равна нулю или не существует. Иногда бывает, что производная не существует в той же точке, где не существует функция. Такая точка не относится к критическим, хотя при переходе через нее может меняться знак производной.

Отмечает все критические точки с учетом области определения. Если они не входят в область, не отмечаем.

Вычисляем знаки производной на каждом из промежутков. Чаще всего это можно сделать с помощью метода интервалов, но если вы не уверены или метод не подходит в данном случае, следует подставить любое значение из промежутка в производную. Отмечаем “+” и “-“. На промежутка с “+” функция возрастает, на промежутках с “-” – убывает.

Если производна при переходе через критическую точку меняет знак с “+” на “-“, это точка максимума, если наоборот – точка минимума.

Если не меняет, значит эта точка не является точкой экстремума.

Далее следует подставить х точек экстремума в исходную функцию и найти отринаты точек, чтобы получилось (х;у). Эти точи будут отмечаться на графике.

7. Перегибы

Для нахождения промежутков вогнуточти и выпуклости, а также точек перегиба, находим вторую производную исходной функции. Приравниваем ее к нулю. Отмечаем полученные точки на прямой, вычисляем знаки второй производной на каждом промежутке.

Если знак “+” – на этом участке функция вогнута, если “-” – выпукла. Если в точке происходит смена знака, значит это точка перегиба.

Вычисляем ординаты полученных точек, подставив х в исходную функцию. Эти точки также будем отмечать на графике.

8. Ассимтоты

Вертикальные ассимтоты находим в точках разрыва функции. Подозрительные точки можно увидеть в области определения.

Исследуем левосторонний и правосторонний пределы в этих точках. Если хотя бы один из них равен бесконечности, то это точка разрыва второго рода. Точка Х0, в которой находили предел, определяет вертикальную ассимтоту. На графике, при полученной +беконечности, функция будет уходить бесконечно вверх вдоль ассимтоты Х=Х0, а при -бесконечности – вниз вдоль ассимтоты. Таким образом этот пункт исследует также непрерывность функции. Если функция существует на всей числовой прямой, точек разрыва нет, значит вертикальных ассимтот тоже нет

Итак, для нахождения вертикальных ассимптот вычисляет пределы

lim y    =A

x->x0+

lim y = B

x->x0-

Если А=В, то ассимтоты нет

Если А или В равно +(-)беконечность, есть ветриткальная ассимтота х=х0

Горизонтальные ассмптоты находим с помощью предела

lim y = А

x->+(-)бесконечность

Если А конечно, то у=А – горизонтальная ассимтота, если нет, горизонтальной ассимтоты нет.

Наклонные ассимптоты имеют вид прямой у=kx+b

k=lim y/x = A

x->+(-)бесконечность

Если А конечно и не равно ноль, значит горизонтальная ассмптота существует, можно находить второй коэффициент

b= lim (y-kx) = В

x->+(-)бесконечность

Он должен быть также конечным. Обычно так и бывает.

Схема исследования закончена. Остается все нанести на координатную плоскость, аккуратно соединить и получить график.

Некоторые рекомендации:

– в первую очередь отмечайте область определения и ассимптоты

– далее нанесите точки пересечения с осями координат

– экстремумы и точки перегиба

– соедините точки плавной линией с учетом ассимптот и области определения

– проверьте оставшиеся свойства; правильно ли получились промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, выпуклости и вогнутости.

Пример исследования функции с помощью дифференциального анализа и построение ее графика представлен ниже.

Исследование функции, построение графика

Исследование функции, построение графика

Исследование функции, построение графика

Исследование функции, построение графика

 

По щелчку на рисунке, его можно увеличить.

ПОДПИШИТЕСЬ НА РАССЫЛКУ!
ИМЯ:
АДРЕС E-Mail:

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Яндекс
Опубликовать в Одноклассники
915 views

Наиболее просматриваемые записи

About The Author

Comments

ЗАДАЙТЕ ВОПРОС